Z przyjemnością informujemy, że dr Damian Dąbrowski otrzymał grant Europejskiej Rady ds. Badań Naukowych (European Research Council – ERC) na realizację projektu: QPROJECT – zagadnienia ilościowe o rzutach w geometrycznej teorii miary, którego abstrakt załączamy poniżej. Serdecznie gratulujemy Panu Doktorowi.
dr Damian Dąbrowski
Projekt będzie trwał od 1 października 2025 r. przez pięć lat do 30 września 2030 r. Planowana jest rekrutacja 4 badaczy do zespołu badawczego realizującego projekt – trzech postdoc-ów i jednego doktoranta.
Jest to już trzeci projekt finansowany przez ERC, który będzie realizowany w Instytucie Matematycznym PAN (poprzednie to: INDEX prof. P. Nowaka i KAPIBARA prof. P. Achingera). Warto dodać, że te trzy granty są jedynymi projektami ERC przyznanymi w całej Polsce w ramach panelu matematycznego (PE1).
Link do konkursu: link 1 / link 2
Link do wyników: https://erc.europa.eu/news-events/news/erc-2025-starting-grants-results
Link do strony projektu: damiandabrowski.eu/qproject/
W projekcie QPROJECT będziemy szukać odpowiedzi na pytania z geometrycznej teorii miary (GTM), dziedziny analizy, której celem jest rozwiązywanie problemów geometrycznych z wykorzystaniem narzędzi teorii miary. Klasyczny kierunek badań w GTM dotyczy oszacowań rozmiaru rzutów ortogonalnych podzbiorów płaszczyzny, a najważniejszymi wynikami w tej dziedzinie są twierdzenia Besicovitcha i Marstranda o rzutach.
W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat okazało się, że uzyskanie odpowiednio silnych kwantyfikacji twierdzeń o rzutach jest powiązane z otwartymi pytaniami na styku GTM, analizy zespolonej, analizy harmonicznej i kombinatoryki addytywnej. Głównym celem tego projektu jest udowodnienie ilościowych twierdzeń o rzutach, ze szczególnym uwzględnieniem trzech konkretnych pytań.
Pierwszym z nich jest hipoteza Wituszkina z 1967 roku. Jednym z kluczowych celów QPROJECT jest dokończenie rozwiązania tej hipotezy poprzez wykazanie, że zbiory usuwalne dla ograniczonych funkcji analitycznych mają prawie wszystkie rzuty ortogonalne zerowej długości. Drugim pytaniem, na które ten projekt ma odpowiedzieć, jest hipoteza Besicovitcha o rzutach radialnych zbiorów całkowicie nieprostowalnych.
Plan zakłada rozwiązanie tych dwóch problemów za pomocą narzędzi prostowalności ilościowej. Jest to właściwy moment, aby się nimi zająć ze względu na niedawne rozwiązanie przez Kierownika Projektu blisko powiązanej hipotezy Davida i Semmesa. Nowe techniki wprowadzone w tej pracy mają szansę doprowadzić do przełomu w badaniach nad tymi dwoma klasycznymi pytaniami.
Trzecim problemem jest hipoteza widoczności z geometrii fraktalnej, która jest ściśle związana z kwantyfikacją klasycznego twierdzenia Marstranda o przekrojach. Opierając się na wcześniejszej pracy Kierownika Projektu nad tą hipotezą, kluczem do pełnego rozwiązania będzie udowodnienie dolnych oszacowań na incydencje w wieloskalowej geometrii incydencji.