Caractérisation d'un ensemble généralisant l'ensemble des nombres de Pisot
Volume 87 / 1998
Abstract
1. Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme minimal Irr(θ,K,z) sur K. Alors θ est dit K-nombre de Pisot si pour tout plongement σ de K dans ℂ le polynôme σIrr(θ,K,z) possède une unique racine de module > 1 et aucune racine de module 1. Ces nombres ont été définis par A. M. Bergé et J. Martinet [2]. Comme dans [2], on représente un K-nombre de Pisot θ dans l'algèbre $A = ℝ^{r₁} × ℂ^{r₂}$, où (r₁,r₂) désigne la signature du corps K, par la suite $(θ_σ)_σ$ de ses conjugués de module > 1 et on note $S_K$ leur ensemble dans A. D'après le théorème 1 de [7], l'ensemble $S_K$ est fermé dans A seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d ∈ ℤ¯. On peut espérer obtenir dans A un ensemble fermé d'entiers algébriques généralisant l'ensemble $S_ℚ$ en rajoutant aux éléments de $S_K$ les points limites suivant la preuve du théorème 1 de [7] et l'on obtient alors un ensemble $Σ_K$ qu'on peut définir comme étant l'ensemble des entiers algébriques θ de module > 1 tels que pour tout plongement σ le polynôme σIrr(θ,K,z) admet au plus une racine de module > 1 et aucune racine de module 1. L'ensemble $Σ_K$ coïncide avec l'ensemble $S_K$ seulement lorsque K = ℚ ou bien K = ℚ(√d) où d < 0 et dans ces cas il est fermé. On donne ici une caractérisation de cet ensemble.
