Niezależność statystyczna w rachunku prawdopodobieństwa, analizie i teorii liczb

Marek Kacstron 134, FRMP 1992

Przekład z języka angielskiego: Katarzyna Akst-Lipszyc
Redaktor naukowy: Zbigniew Ciesielski
Tytuł oryginału: Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory, The Carus Mathematical Monographs, Number Twelve, published by The Mathematical Association of America, 1959
Copyright © 1959 by The Mathematical Association of America (Incorporated)
©Copyright for the Polish edition by Fundacja Rozwoju Matematyki Polskiej, Warszawa 1992
ISBN 83-85116-66-4

Od redaktora

Rok 1992 jest rokiem szczególnym dla matematyki polskiej: obchodzimy stulecie urodzin Stefana Banacha, co jest dobrą okazją do upowszechniania wiedzy o Lwowskiej Szkole Matematycznej okresu międzywojennego, a także wiedzy o jej wychowankach. To Hugo Steinhaus odkrył Stefana Banacha. Oni obaj stworzyli, z udziałem wielu innych wybitnych matematyków polskich, wspomnianą szkołę. Marek (Mark) Kac był jednym z ostatnich wybitnych wychowanków Szkoły Lwowskiej, uczniem Hugona Steinhausa.

H. Steinhaus, obok A. N. Kołmogorowa, jest twórcą pojęcia niezależności stochastycznej (inaczej statystycznej lub probabilistycznej), podstawowego pojęcia rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Problematyka ta, niewątpliwie pod wpływem jego mistrza, zafascynowała Marka Kaca. Zaangażowanie młodego utalentowanego Kaca w tej dziedzinie było tak głębokie, że stanowiło siłę motoryczną olbrzymiej części jego późniejszych badań, zarówno w zakresie matematyki, jak i podstaw mechaniki statystycznej. Jednym z owoców tej fascynacji jest niniejsza książeczka, perła literatury matematycznej, przeznaczona dla szerokiego grona miłośników matematyki i fizyki.

Marek Kac był cudownym gawędziarzem i wspaniałym wykładowcą, potrafił mówić z właściwą sobie swadą w sposób prosty i przekonujący o zagadnieniach trudnych. W przedkładanej miniaturowej monografii znajdujemy odbicie tych wszystkich zalet wykładowcy i uczonego. W czasie lektury odnosi się wrażenie, że autor znajduje niezależność stochastyczną wszędzie tam, gdzie sobie tego życzy. Dostrzega ją we wzorze połówkowym Viète'a dla sinusa, w sumach trygonometrycznych i w liczbach pierwszych. W sposób naturalny przechodzi do szkicu podstaw klasycznej mechaniki statystycznej i teorii ergodycznej. Tę ostatnią znakomicie ilustruje na przykładzie ułamków łańcuchowych. Nie sposób przekazać w kilku słowach całego uroku polecanej tu pracy, najlepiej zajrzeć do niej samemu.

W drugiej części niniejszej publikacji znajdzie czytelnik tłumaczenie artykułu Henry'ego McKeana oraz spis publikacji i wyróżnień Marka Kaca. H. McKean jako student słuchał wykładów Kaca w MIT i był jego współpracownikiem w Uniwersytecie Rockefellera w Nowym Jorku. W sposób bardzo obrazowy przedstawia niesłychanie ciekawą sylwetkę naukową Kaca: osiągnięcia, talent i barwną osobowość.

Marek Kac wyruszył w świat z Gdyni na pokładzie m/s „Piłsudski” -- było to w roku 1938. Do Polski po wojnie przyjechał po raz pierwszy w roku 1959. Wtedy miałem okazję go poznać i być jego pilotem w podróży po kraju. Potem przyjeżdżał jeszcze kilka razy na zaproszenie Polskiej Akademii Nauk, a w czasie ostatniego pobytu wygłosił uroczysty wykład im. Mariana Smoluchowskiego w Sali Lustrzanej Pałacu Staszica.

W Stanach Zjednoczonych gościł u siebie często, zarówno w Uniwersytecie Cornella, jak i w Uniwersytecie Rockefellera, wybitnych matematyków i fizyków, także z Polski.

Marek Kac wychował grono uczniów, większość z nich to obecnie znani matematycy. Jednym z nich jest Daniel W. Stroock, obecnie profesor w MIT. To właśnie on był inicjatorem wydania w języku polskim niniejszej książki, a poproszony o skreślenie kilku słów przy okazji niniejszego wydania, przekazał mi tekst angielski, który zamieszczam za jego zgodą, biorąc jednocześnie odpowiedzialność za tłumaczenie:

Z przyjemnością uczestniczyłem w przedsięwzięciu, którego efektem jest niniejszy tomik (którego niestety nie mogę czytać). Znajomość z wieloma Polakami wywarła ogromny wpływ na moje życie, wzbogaciła je. Jest zatem naturalne, że powinienem ułatwić przyszłym pokoleniom Polaków dokładniejsze poznanie jednego z rodowitych synów Polski. Mam tylko nadzieję, że w przyszłości tak wielu spośród nich nie będzie zmuszonych spędzać swojego życia poza jej granicami.

Sponsorami tej publikacji są wspomniany wyżej Daniel W. Stroock, Polska Akademia Nauk i jej Instytut Matematyczny oraz Fundacja Rozwoju Matematyki Polskiej z siedzibą w Warszawie, która podjęła się roli wydawcy. Wyrażę chyba wdzięczność całego środowiska matematycznego, dziękując zarówno Danielowi Stroockowi, jak i Akademii, Instytutowi oraz Fundacji za umożliwienie realizacji tego przedsięwzięcia.

Na zakończenie pragnę podziękować profesorowi Czesławowi Olechowi, jednemu z założycieli Fundacji, za osobiste zainteresowanie sprawą niniejszego wydania oraz profesorowi Stefanowi Rolewiczowi, dyrektorowi zarządu Fundacji, za wszechstronną pomoc w realizacji całego przedsięwzięcia. Dziękuję także pani Katarzynie Akst-Lipszyc za dokonanie tłumaczenia całości, a panu Jerzemu Trzeciakowi za owocną współpracę redakcyjną.

Zbigniew Ciesielski

Sopot, 12 maja 1992 r.

SPIS TREŚCI

  1. Od Viète'a do pojęcia niezależności statystycznej – 14
    1. Wzór Viète'a – 14
    2. Inne spojrzenie na wzór Viète'a – 15
    3. Przypadek czy początek czegoś głębszego? – 17
    4. (½)n=½ ... ½ (n razy) – 18
    5. Orzeł czy reszka? – 20
    6. Niezależność i „niezależność" – 22 
      Zadania – 24
  2. Borel i później – 26
    1. „Prawa wielkich liczb" – 26
    2. Borel i „liczby normalne" – 28 
      Zadania – 31
    3. „Orzeł czy reszka" – ujęcie bardziej abstrakcyjne – 34
    4. Jaka jest cena abstrakcji? – 37
    5. Przykład 1. Zbieżność szeregu ze znakami losowymi – 38
    6. Przykład 2. Rozbieżność szeregu ze znakami losowymi – 44 
      Zadania – 47 
      Literatura – 48
  3. Rozkład normalny – 49
    1. De Moivre – 49
    2. Idea – 50
    3. Uściślenie metody Markowa – 51 
      Zadania – 54
    4. Dokładniejsze spojrzenie na metodę – 54 
      Zadania – 56
    5. Prawo przyrody czy twierdzenie matematyczne? – 59 
      Zadania – 65 
      Literatura – 65
  4. Liczby pierwsze prowadzą grę losową – 66
    1. Funkcje teorioliczbowe, gęstość, niezależność – 66
    2. Statystyka funkcji φ Eulera – 67 
      Zadania – 75
    3. Inne zastosowanie – 77
    4. Prawie każda liczba naturalna m ma w przybliżeniu log log m – dzielników pierwszych – 83 
      Zadania – 87
    5. Rozkład normalny w teorii liczb – 87 
      Zadania – 91 
      Literatura – 92
  5. Od teorii kinetycznej do ułamków łańcuchowych – 93
    1. Paradoksy teorii kinetycznej – 93
    2. Wstęp – 94
    3. Odpowiedź Boltzmanna – 97
    4. Sformułowanie abstrakcyjne – 99
    5. Twierdzenie ergodyczne a ułamki łańcuchowe – 103 
      Zadania – 106 
      Literatura – 107
  • H.& P. Mc Kean, Mark Kac (16 VIII 1914 – 25 X 1984) – 108
    • Polska – 108
    • Ameryka – 110
    • Prace matematyczne – 111
    • Wyróżnienia i nagrody – 118
    • Wybrane publikacje – 119

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek