Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Approximation of convex bodies by polytopes with respect to minimal width and diameter

Tom 149 / 2017

Marek Lassak Colloquium Mathematicum 149 (2017), 21-32 MSC: Primary 52A27. DOI: 10.4064/cm6856-7-2016 Opublikowany online: 3 April 2017

Streszczenie

Denote by ${\mathcal K}^d$ the family of convex bodies in $E^d$ and by $w(C)$ the minimal width of $C \in {\mathcal K}^d$. We ask what is the greatest number $\varLambda _n ({\mathcal K}^d)$ such that every $C \in {\mathcal K}^d$ contains a polytope $P$ with at most $n$ vertices for which $\varLambda _n ({\mathcal K}^d) \leq {w(P)/w(C)}$. We give a lower estimate of $\varLambda _n ({\mathcal K}^d)$ for $n \geq 2d$ based on estimates of the smallest radius of $\lfloor {{n/2}} \rfloor $ antipodal pairs of spherical caps that cover the unit sphere of $E^d$. We show that $\varLambda _3 ({\mathcal K}^2) \geq {\frac 1 2}(3- \sqrt 3)$, and $\varLambda _n ({\mathcal K}^2) \geq \cos {\frac \pi {2 \lfloor {n/2} \rfloor }}$ for every $n \geq 4$. We also consider the dual question of estimating the smallest number $\Delta _n ({\mathcal K}^d)$ such that for every $C \in {\mathcal K}^d$ there exists a polytope $P\supset C$ with at most $n$ facets for which ${{\rm diam}(P)/{\rm diam}(C)} \leq \Delta _n ({\mathcal K}^d)$. We give an upper bound of $\Delta _n ({\mathcal K}^d)$ for $n \geq 2d$. In particular, $\Delta _n ({\mathcal K}^2) \leq 1/\cos {\frac \pi {2 \lfloor {n/2} \rfloor }}$ for $n \geq 4$.

Autorzy

  • Marek LassakInstitute of Mathematics and Physics
    University of Technology and Life Sciences
    85-789 Bydgoszcz, Poland
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek