JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Wydawnictwa / Czasopisma IMPAN / Colloquium Mathematicum / Wszystkie zeszyty

Colloquium Mathematicum

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Real zeros of random sums with i.i.d. coefficients

Tom 161 / 2020

Colloquium Mathematicum 161 (2020), 173-188 MSC: Primary 30C15, 30B20; Secondary 26C10, 60B99. DOI: 10.4064/cm7865-5-2019 Opublikowany online: 13 March 2020

Streszczenie

Let $\{f_k\}$ be a sequence of entire functions that are real valued on the real-line. We study the expected number of real zeros of random sums of the form $P_n(z)=\sum _{k=0}^n\eta _k f_k(z)$, where $\{\eta _k\}$ are real valued i.i.d. random variables. We establish a formula for the density function $\rho _n$ for that number. As a corollary, taking $\{\eta _k\}$ to be i.i.d. standard Gaussian, appealing to Fourier inversion we recover the representation for the density function previously given by Vanderbei by means of a different proof. Placing the restrictions on the common characteristic function $\phi$ of $\{\eta _k\}$ that $|\phi (s)|\leq (1+as^2)^{-q}$, with $a \gt 0$ and $q\geq 1$, as well as that $\phi$ is three times differentiable with both the second and third derivatives uniformly bounded, we achieve an upper bound on $\rho _n$ with explicit constants that depend only on the restrictions on $\phi$. As an application we consider the limiting value of $\rho _n$ when the spanning functions $f_k(z)$ are $p_k(z)$, $k=0,1,\dots , n$, where $\{p_k\}$ are the Bergman polynomials on the unit disk.

Autorzy

• Aaron M. YeagerDepartment of Mathematics
College of Coastal Georgia
One College Drive
Brunswick, GA 31520, U.S.A.
e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Odśwież obrazek