# Wydawnictwa / Czasopisma IMPAN / Studia Mathematica / Wszystkie zeszyty

## Studia Mathematica

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

## Submultiplicative functions and operator inequalities

### Tom 223 / 2014

Studia Mathematica 223 (2014), 217-231 MSC: Primary 39B42; Secondary 26A24, 46E15. DOI: 10.4064/sm223-3-3

#### Streszczenie

Let $T:C^1(\mathbb{R}) \to C(\mathbb{R})$ be an operator satisfying the “chain rule inequality” $T(f \circ g) \le (Tf) \circ g \cdot Tg, \quad f,g \in C^1(\mathbb{R}).$ Imposing a weak continuity and a non-degeneracy condition on $T$, we determine the form of all maps $T$ satisfying this inequality together with $T(-\mathop{\rm Id}\nolimits)(0)< 0$. They have the form $Tf = \begin{cases}(H \circ f / H) f'^p, & f' \ge 0,\\ -A (H \circ f / H ) |f'|^p, & f' < 0, \end{cases}$ with $p>0$, $H \in C(\mathbb{R})$, $A \ge 1$. For $A=1$, these are just the solutions of the chain rule operator equation. To prove this, we characterize the submultiplicative, measurable functions $K$ on $\mathbb{R}$ which are continuous at $0$ and $1$ and satisfy $K(-1)< 0< K(1)$. Any such map $K$ has the form $K(\alpha) = \begin{cases} \alpha^p, &\alpha \ge 0,\\ -A |\alpha|^p,&\alpha < 0,\end{cases}$ with $A \ge 1$ and $p>0$. Corresponding statements hold in the supermultiplicative case with $0< A \le 1$.

#### Autorzy

• Hermann KönigMathematisches Seminar
Universität Kiel
24098 Kiel, Germany
e-mail
• Vitali MilmanSchool of Mathematical Sciences
Tel Aviv University
Ramat Aviv, Tel Aviv 69978, Israel
e-mail

## Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

## Przepisz kod z obrazka Odśwież obrazek