# Wydawnictwa / Czasopisma IMPAN / Studia Mathematica / Wszystkie zeszyty

## Studia Mathematica

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

## Garsia–Rodemich spaces: Local maximal functions and interpolation

### Tom 255 / 2020

Studia Mathematica 255 (2020), 1-26 MSC: Primary 46E30; Secondary 46B70, 42B35. DOI: 10.4064/sm190206-6-10 Opublikowany online: 24 April 2020

#### Streszczenie

We characterize the Garsia–Rodemich spaces $\operatorname {GaRo}_{X}$ associated with a rearrangement invariant space via local maximal operators. Let $Q_{0}$ be a cube in $\mathbb {R}^{n}$. We show that there exists $s_{0}\in (0,1)$ such that for all $0 \lt s \lt s_{0}$, and for all r.i. spaces $X(Q_{0})$, we have$\operatorname {GaRo}_{X}(Q_{0})=\{f\in L^{1}(Q_{0}):\| f\|_{\operatorname {GaRo}_{X}}\simeq \| M_{s,Q_{0}}^{\#}f\|_{X} \lt \infty \},$ where $M_{s,Q_{0}}^{\#}$ is the Strömberg–Jawerth–Torchinsky local maximal operator. Combined with a formula for the $K$-functional of the pair $(L^{1},\operatorname {BMO})$ obtained by Jawerth–Torchinsky, our result shows that the $\operatorname {GaRo}_{X}$ spaces are interpolation spaces between $L^{1}$ and $\operatorname {BMO}$. Among the applications, we prove, using real interpolation, the monotonicity under rearrangements of Garsia–Rodemich type functionals. We also give an approach to Sobolev–Morrey inequalities via Garsia–Rodemich norms, and prove necessary and sufficient conditions for $\operatorname {GaRo}_{X}(Q_{0})=X(Q_{0})$. Using packings, we obtain a new expression for the $K$-functional of the pair $(L^{1}, \operatorname {BMO})$.

#### Autorzy

• Sergey AstashkinDepartment of Mathematics
Samara University
Moskovskoye shosse 34
443086 Samara, Russia
e-mail
• Mario MilmanInstituto Argentino de Matemática
Buenos Aires, Argentina
e-mail

## Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

## Przepisz kod z obrazka Odśwież obrazek