Wykłady z geometrii algebraicznej

Andrzej Białynicki-Birula

ISBN 978-83-86806-19-5 
250 str.

Opis książki 
Celem podręcznika jest zaznajomienie czytelnika z podstawowymi pojęciami geometrii algebraicznej. Może on służyć zarówno jako kompendium podstawowej wiedzy z tego przedmiotu, użyteczne dla każdego matematyka, jak i wstęp do dalszych studiów. Geometria algebraiczna to dziedzina matematyki, której XIX-wieczna, klasyczna wersja dotyczy badania zbiorów rozwiązań równań wielomianowych. Współczesna geometria algebraiczna posługuje się metodami współczesnej algebry, zwłaszcza algebry przemiennej, wykorzystując przy tym język geometrii i topologii, a także metody analizy zespolonej i teorii liczb. Przedstawiony tu wykład prowadzony jest w duchu znanej książki Szafarewicza i może być traktowany jako przygotowanie do systematycznej lektury tej książki. Książka adresowana jest przede wszystkim do studentów matematyki i fizyki, ale także do wszystkich zainteresowanych tą nadal szybko rozwijającą się dziedziną o ponad dwustuletniej już historii.
Pobierz pierwszy rozdział

O autorze 
Andrzej Białynicki-Birula, ur. w 1935 roku w Nowogródku, w latach 50-tych studiował na Uniwersytecie Warszawskim i Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley, gdzie otrzymał doktorat w 1960 roku. W latach 60-tych pracował w Instytucie Matematycznym PAN, a następnie, aż do dnia dzisiejszego, na Uniwersytecie Warszawskim. Jego zainteresowania naukowe dotyczą algebry, topologii algebraicznej oraz, przede wszystkim, geometrii algebraicznej; m.in badał działania grup algebraicznych na rozmaitościach i ich ilorazy. Twierdzenie Białynickiego-Biruli o rozkładzie rozmaitości z działaniem grupy multiplikatywnej ciała jest jednym z fundamentalnych rezultatów w tym obszarze badań.

Spis treści 
Przedmowa 9
1. Afiniczne zbiory algebraiczne 11
1.1. Definicja zbiorów afinicznych 11
1.2. Twierdzenie Hilberta o bazie 16
1.3. Twierdzenie Hilberta o zerach 17
1.3.1. Sformułowania twierdzenia Hilberta o zerach 17
1.3.2. Elementy i rozszerzenia całkowite 18
1.3.3. Dowody twierdzenia Hilberta o zerach 19
1.4. Ideał podzbioru afinicznego 19
1.5. Topologia Zariskiego 21
1.6. Pierścień funkcji regularnych i jego spektrum 23
1.7. Zbiory nierozkładalne 25
1.8. Funkcje wymierne 29
1.9. Snop funkcji regularnych 32
1.10. Morfizmy zbiorów afinicznych 33
1.11. Iloczyny zbiorów afinicznych 37
1.12. Twierdzenie Chevalleya o obrazie 40
1.13. Przekształcenia wymierne 43
1.14. Przestrzenie ze snopami funkcji 46
1.15. Podzbiory analityczne przestrzeni zespolonych 48
1.16. Snopy, schematy afiniczne 49
Zadania 55

2. Rzutowe zbiory algebraiczne 57
2.1. Definicja zbiorów rzutowych 57
2.2. Algebry z gradacją 59
2.3. Własności zbiorów rzutowych 60
2.4. Funkcje wymierne na zbiorach rzutowych 61
2.5. Morfizmy zbiorów rzutowych 62
2.6. Iloczyny zbiorów rzutowych 63
2.7. Zbiory rzutowe a zbiory afiniczne 64
2.8. Algebra z gradacją zbioru rzutowego 66
Zadania 67

3. Ogólne zbiory algebraiczne 69
3.1. Definicja ogólnych zbiorów algebraicznych i ich morfizmów 69
3.2. Podstawowe własności zbiorów algebraicznych 72
3.3. Schematy 73
3.4. Własności morfizmów 75
3.4.1. Morfizmy afiniczne 76
3.4.2. Morfizmy skończone 76
3.4.3. Morfizmy właściwe 77
3.4.4. Morfizmy płaskie 78
3.5. Problemy i metody geometrii algebraicznej 80
3.5.1. Metody algebraiczne 81
3.5.2. Metody topologiczne i analityczne 81
3.5.3. Metody arytmetyczne 83
3.6. Przekształcenia wymierne w przestrzenie rzutowe 85
Zadania 89

4. Grupy algebraiczne 91
4.1. Definicja grupy algebraicznej 91
4.2. Afiniczne grupy algebraiczne 94
4.3. Algebry Hopfa 96
4.4. Działania grup na zbiorach algebraicznych 97
Zadania 99

5. Przykłady konstrukcji zbiorów algebraicznych 101
5.1. Grassmanniany 101
5.2. Zanurzenia torusa 104
5.3. Zbiory warstw podgrupy grupy algebraicznej 107
Zadania 110

6. Wymiar zbiorów algebraicznych 111
6.1. Własności stopni przestępnych 111
6.2. Definicja wymiaru 112
6.3. Własności wymiaru 113
6.4. Wymiar Krulla 117
Zadania 117

7. Teoria lokalna 120
7.1. Pierścienie lokalne 121
7.2. Topologia adyczna 122
7.3. Przestrzeń kostyczna, różniczka funkcji 123
7.4. Przestrzeń styczna 124
7.5. Pierścienie regularne i normalne 128
7.6. Punkty gładkie 130
7.7. Układy parametrów 131
7.8. Formy różniczkowe i pola styczne 135
7.9. Różniczki Kählera 136
Zadania 138

8. Zbiory gładkie i zbiory normalne 140
8.1. Przykłady zbiorów gładkich 140
8.2. Pierścienie Dedekinda 142
8.3. Grupa klas ideałów pierścienia Dedekinda 144
8.4. Waluacje 146
8.5. Rozszerzenia całkowite pierścieni Dedekinda 149
8.6. Zbiory normalne i normalizacja 151
8.7. Rozdmuchania i ściągnięcia 154
8.8. Desingularyzacja, modele 158
8.9. Formy różniczkowe na zbiorach algebraicznych 159
8.10. Genus geometryczny zbioru gładkiego 165
Zadania 168

9. Wiązki wektorowe i dywizory 171
9.1. Definicja wiązek wektorowych 171
9.2. Snop przekrojów wiązki wektorowej 173
9.3. Konstrukcje wiązek wektorowych 174
9.4. Wiązka styczna i kostyczna 177
9.5. Dywizory Cartiera 178
9.6. Dywizory Weila 179
9.7. Dywizory na zbiorach gładkich 182
9.8. Przekształcenie wymierne wyznaczone przez dywizor 184
9.9. Dywizory na krzywych gładkich 186

10. Snopy i kohomologie 189
10.1. Snopy koherentne 189
10.2. Snopy grup 193
10.3. Snopy ilorazowe 196
10.4. Ciągi dokładne snopów 199
10.5. Snopy koherentne w geometrii analitycznej 203
10.6. Geometria formalna 207
10.7. Aksjomaty teorii kohomologii 209
10.8. Konstrukcja Čecha 211
10.9. Twierdzenie Riemanna--Rocha dla krzywych 213
10.10. Powierzchnie Riemanna 219
10.11. Teoria przecięć 220
Zadania 225

Bibliografia 227

Skorowidz symboli 230

Skorowidz pojęć 232

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek