Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Filippov Lemma for matrix fourth order differential inclusions

Tom 101 / 2014

Grzegorz Bartuzel, Andrzej Fryszkowski Banach Center Publications 101 (2014), 9-18 MSC: Primary 34A60, 49J21; Secondary 46G05, 26A24. DOI: 10.4064/bc101-0-1

Streszczenie

In the paper we give an analogue of the Filippov Lemma for the fourth order differential inclusions \begin{equation} \mathcal{D}y=y^{\prime\prime\prime\prime}-(A^{2}+B^{2})y^{\prime\prime} +A^{2}B^{2}y\in F( t,y) , \tag{$\hbox{*}$} \end{equation} with the initial conditions \begin{equation} y( 0) = y'( 0) = y^{\prime\prime}(0) = y^{\prime\prime\prime}( 0) =0, \tag{**} \end{equation} where the matrices $A,B\in \mathbb{R}^{d\times d}$ are commutative and the multifunction $F:[ 0,1] \times \mathbb{R}^{d}\leadsto \mathop{\rm cl}( \mathbb{R}^{d}) $ is Lipschitz continuous in $y$ with a $t$-independent constant $l<\Vert A\Vert ^{2}\Vert B\Vert ^{2}$.

Main theorem. Assume that $F:[ 0,1] \times \mathbb{R}^{d}\leadsto \mathop{\rm cl}( \mathbb{R}^{d}) $ is measurable in $t$ and integrably bounded. Let $y_{0}\in W^{4,1}$ be an arbitrary function satisfying (**) and such that \[ d_{H}( \mathcal{D}y_{0}( t) ,F( t,y_{0}( t) ) ) \leq p_{0}( t) \text{ a.e. in }[ 0,1], \] where $p_{0}\in L^{1}[ 0,1] $. Then there exists a solution $y\in W^{4,1}$ of (*) with (**) such that \begin{align*} \vert \mathcal{D}y( t) -\mathcal{D}y_{0}( t)\vert &\leq p_{0}( t) +l ( Y_{4}( \,\cdot\, ,\alpha,\beta ) \ast p_{0}) ( t) \\ \vert y( t) -y_{0}( t) \vert &\leq (Y_{4}( \,\cdot\, ,\alpha ,\beta ) \ast p_{0}) ( t) \text{ a.e. in } [ 0,1] , \end{align*} where \[ Y_{4}( x,\alpha ,\beta ) =\frac{\alpha^{-1}\sinh ( \alpha x) -\beta^{-1}\sinh ( \beta x) }{\alpha^{2}-\beta ^{2}} \] and $\alpha ,\beta $ depend on $\Vert A\Vert $, $\Vert B\Vert $ and $l$.

Autorzy

  • Grzegorz BartuzelFaculty of Mathematics and Information Science
    Warsaw University of Technology
    ul. Koszykowa 75
    00-662 Warsaw, Poland
    e-mail
  • Andrzej FryszkowskiFaculty of Mathematics and Information Science
    Warsaw University of Technology
    ul. Koszykowa 75
    00-662 Warsaw, Poland
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek