# Wydawnictwa / Banach Center Publications / Wszystkie tomy

## Banach Center Publications

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

## Filippov Lemma for matrix fourth order differential inclusions

### Tom 101 / 2014

Banach Center Publications 101 (2014), 9-18 MSC: Primary 34A60, 49J21; Secondary 46G05, 26A24. DOI: 10.4064/bc101-0-1

#### Streszczenie

In the paper we give an analogue of the Filippov Lemma for the fourth order differential inclusions $$\mathcal{D}y=y^{\prime\prime\prime\prime}-(A^{2}+B^{2})y^{\prime\prime} +A^{2}B^{2}y\in F( t,y) , \tag{\hbox{*}}$$ with the initial conditions $$y( 0) = y'( 0) = y^{\prime\prime}(0) = y^{\prime\prime\prime}( 0) =0, \tag{**}$$ where the matrices $A,B\in \mathbb{R}^{d\times d}$ are commutative and the multifunction $F:[ 0,1] \times \mathbb{R}^{d}\leadsto \mathop{\rm cl}( \mathbb{R}^{d})$ is Lipschitz continuous in $y$ with a $t$-independent constant $l<\Vert A\Vert ^{2}\Vert B\Vert ^{2}$.

Main theorem. Assume that $F:[ 0,1] \times \mathbb{R}^{d}\leadsto \mathop{\rm cl}( \mathbb{R}^{d})$ is measurable in $t$ and integrably bounded. Let $y_{0}\in W^{4,1}$ be an arbitrary function satisfying (**) and such that $d_{H}( \mathcal{D}y_{0}( t) ,F( t,y_{0}( t) ) ) \leq p_{0}( t) \text{ a.e. in }[ 0,1],$ where $p_{0}\in L^{1}[ 0,1]$. Then there exists a solution $y\in W^{4,1}$ of (*) with (**) such that \begin{align*} \vert \mathcal{D}y( t) -\mathcal{D}y_{0}( t)\vert &\leq p_{0}( t) +l ( Y_{4}( \,\cdot\, ,\alpha,\beta ) \ast p_{0}) ( t) \\ \vert y( t) -y_{0}( t) \vert &\leq (Y_{4}( \,\cdot\, ,\alpha ,\beta ) \ast p_{0}) ( t) \text{ a.e. in } [ 0,1] , \end{align*} where $Y_{4}( x,\alpha ,\beta ) =\frac{\alpha^{-1}\sinh ( \alpha x) -\beta^{-1}\sinh ( \beta x) }{\alpha^{2}-\beta ^{2}}$ and $\alpha ,\beta$ depend on $\Vert A\Vert$, $\Vert B\Vert$ and $l$.

#### Autorzy

• Grzegorz BartuzelFaculty of Mathematics and Information Science
Warsaw University of Technology
ul. Koszykowa 75
00-662 Warsaw, Poland
e-mail
• Andrzej FryszkowskiFaculty of Mathematics and Information Science
Warsaw University of Technology
ul. Koszykowa 75
00-662 Warsaw, Poland
e-mail

## Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Odśwież obrazek