Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

On the quartic character of quadratic units

Tom 159 / 2013

Zhi-Hong Sun Acta Arithmetica 159 (2013), 89-100 MSC: Primary 11A15; Secondary 11A07, 11B39, 11E25. DOI: 10.4064/aa159-1-5

Streszczenie

Let $\mathbb Z$ be the set of integers, and let $(m,n)$ be the greatest common divisor of integers $m$ and $n$. Let $p$ be a prime of the form $4k+1$ and $p=c^2+d^2$ with $c,d\in\mathbb Z$, $d=2^rd_0$ and $c\equiv d_0\equiv 1\pmod 4$. In the paper we determine $\def\sls#1#2{\bigl(\frac{#1}{#2}\bigr)}\sls{b+\sqrt{b^2+4^{\alpha}}}2^{\frac{p-1}4}\pmod p$ for $p=x^2+(b^2+4^{\alpha})y^2$ $(b,x,y\in\mathbb Z,\ 2\nmid b)$, and $(2a+\sqrt{4a^2+1})^{\frac{p-1}4}\pmod p$ for $p=x^2+(4a^2+1)y^2$ $(a,x,y\in\mathbb Z)$ on the condition that $(c,x+d)=1$ or $(d_0,x+c)=1$. As applications we obtain the congruence for $U_{(p-1)/4}\pmod p$ and the criterion for $p\,|\, U_{(p-1)/8}$ (if $p\equiv 1\pmod 8$), where $\{U_n\}$ is the Lucas sequence given by $U_0=0,\ U_1=1$ and $U_{n+1}=bU_n+U_{n-1}\ (n\ge 1)$, and $b\not\equiv 2\pmod 4$. Hence we partially solve some conjectures that we posed in 2009.

Autorzy

  • Zhi-Hong SunSchool of Mathematical Sciences
    Huaiyin Normal University
    Huaian, Jiangsu 223001, P.R. China
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek