Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

The sequence of fractional parts of roots

Tom 169 / 2015

Kevin O'Bryant Acta Arithmetica 169 (2015), 357-371 MSC: Primary 11B83, 11J99, 11J70. DOI: 10.4064/aa169-4-4

Streszczenie

We study the function $\def\fp#1{\{#1\}}\def\tfloor#1{\lfloor #1 \rfloor}M_\theta(n)=\tfloor{1/\fp{\theta^{1/n}}}$, where $\theta$ is a positive real number, $\def\tfloor#1{\lfloor #1 \rfloor}\tfloor{\cdot}$ and $\def\fp#1{\{#1\}}\fp{\cdot}$ are the floor and fractional part functions, respectively. Nathanson proved, among other properties of $M_\theta$, that if $\log\theta$ is rational, then for all but finitely many positive integers $n$, $\def\tfloor#1{\lfloor #1 \rfloor}M_\theta(n)=\tfloor{n/\!\log\theta-1/2}$. We extend this by showing that, without any condition on $\theta$, all but a zero-density set of integers $n$ satisfy $\def\tfloor#1{\lfloor #1 \rfloor}M_\theta(n)=\tfloor{n/\!\log\theta-1/2}$. Using a metric result of Schmidt, we show that almost all $\theta$ have asymptotically $(\log\theta \log x)/12$ exceptional $n \leq x$. Using continued fractions, we produce uncountably many $\theta$ that have only finitely many exceptional $n$, and also give uncountably many explicit $\theta$ that have infinitely many exceptional $n$.

Autorzy

  • Kevin O'BryantDepartment of Mathematics
    College of Staten Island (CUNY)
    Staten Island, NY 10314, U.S.A.
    and
    CUNY Graduate Center
    New York, NY 10016, U.S.A.
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek