# Wydawnictwa / Czasopisma IMPAN / Acta Arithmetica / Wszystkie zeszyty

## Acta Arithmetica

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

## Sums of four polygonal numbers with coefficients

### Tom 180 / 2017

Acta Arithmetica 180 (2017), 229-249 MSC: Primary 11E20, 11E25; Secondary 11B13, 11B75, 11D85, 11P99. DOI: 10.4064/aa8630-4-2017 Opublikowany online: 30 August 2017

#### Streszczenie

Let $m\ge3$ be an integer. The polygonal numbers of order $m+2$ are given by $p_{m+2}(n)=m\binom n2+n$ $(n=0,1,2,\ldots)$. A famous claim of Fermat proved by Cauchy states that each nonnegative integer is the sum of $m+2$ polygonal numbers of order $m+2$. For $(a,b)=(1,1),(2,2),(1,3),(2,4)$, we study whether any sufficiently large integer can be expressed as $$p_{m+2}(x_1)+p_{m+2}(x_2)+ap_{m+2}(x_3)+bp_{m+2}(x_4)$$ with $x_1,x_2,x_3,x_4$ nonnegative integers. We show that the answer is positive if $(a,b)\in\{(1,3),(2,4)\}$, or $(a,b)=(1,1)\ \& 4 \,|\, m$, or $(a,b)=(2,2)\ \& m\not\equiv2\pmod4$. In particular, we confirm a conjecture of Z.-W. Sun that any natural number can be written as $p_6(x_1)+p_6(x_2)+2p_6(x_3)+4p_6(x_4)$ with $x_1,x_2,x_3,x_4$ nonnegative integers.

#### Autorzy

• Xiang-Zi MengDepartment of Mathematics
Nanjing University
Nanjing 210093, People’s Republic of China
e-mail
• Zhi-Wei SunDepartment of Mathematics
Nanjing University
Nanjing 210093, People’s Republic of China
e-mail

## Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

## Przepisz kod z obrazka Odśwież obrazek