Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Sums of four polygonal numbers with coefficients

Tom 180 / 2017

Xiang-Zi Meng, Zhi-Wei Sun Acta Arithmetica 180 (2017), 229-249 MSC: Primary 11E20, 11E25; Secondary 11B13, 11B75, 11D85, 11P99. DOI: 10.4064/aa8630-4-2017 Opublikowany online: 30 August 2017

Streszczenie

Let $m\ge3$ be an integer. The polygonal numbers of order $m+2$ are given by $p_{m+2}(n)=m\binom n2+n$ $(n=0,1,2,\ldots)$. A famous claim of Fermat proved by Cauchy states that each nonnegative integer is the sum of $m+2$ polygonal numbers of order $m+2$. For $(a,b)=(1,1),(2,2),(1,3),(2,4)$, we study whether any sufficiently large integer can be expressed as $$ p_{m+2}(x_1)+p_{m+2}(x_2)+ap_{m+2}(x_3)+bp_{m+2}(x_4) $$ with $x_1,x_2,x_3,x_4$ nonnegative integers. We show that the answer is positive if $(a,b)\in\{(1,3),(2,4)\}$, or $(a,b)=(1,1)\ \& 4 \,|\, m$, or $(a,b)=(2,2)\ \& m\not\equiv2\pmod4$. In particular, we confirm a conjecture of Z.-W. Sun that any natural number can be written as $p_6(x_1)+p_6(x_2)+2p_6(x_3)+4p_6(x_4)$ with $x_1,x_2,x_3,x_4$ nonnegative integers.

Autorzy

  • Xiang-Zi MengDepartment of Mathematics
    Nanjing University
    Nanjing 210093, People’s Republic of China
    e-mail
  • Zhi-Wei SunDepartment of Mathematics
    Nanjing University
    Nanjing 210093, People’s Republic of China
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek