Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

On Diophantine problems with mixed powers of primes

Tom 182 / 2018

Wenxu Ge, Tianqin Wang Acta Arithmetica 182 (2018), 183-199 MSC: 11P32, 11D75, 11P55. DOI: 10.4064/aa170225-23-10 Opublikowany online: 13 December 2017

Streszczenie

Let $k$ be an integer with $k\geq 3$ and $\varepsilon \gt 0$. Let $s(k)=[{(k+1)}/{2}]$ and $\sigma(k)=\min\bigl(2^{s(k)-1},\frac{1}{2}s(k)(s(k)+1)\bigr)$. Suppose that $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ are non-zero real numbers, not all negative, and $\lambda_1/\lambda_2$ is irrational and algebraic. Let $\mathcal{V}$ be a well-spaced sequence and $\delta \gt 0$. We prove that $E(\mathcal{V},X,\delta)\ll X^{1-{1}/{(8\sigma(k))}+2\delta+\varepsilon}$, where $E(\mathcal{V},X,\delta)$ denotes the number of $v\in \mathcal{V}$ with $1\leq v\leq X$ such that the inequality $|\lambda_1p_1^2+\lambda_2p_2^2+\lambda_3p_3^k-v| \lt v^{-\delta}$ has no solution in primes $p_1,p_2,p_3$. Furthermore, suppose that $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5$ are non-zero real numbers, not all of the same sign, $\lambda_1/\lambda_2$ is irrational and $\varpi$ is a real number. We prove that there are infinitely many solutions in primes $p_j$ to the inequality $$|\lambda_1p_1^2+\lambda_2p_2^2+\lambda_3p_3^2+\lambda_4p_4^2+\lambda_5p_5^k+\varpi| \lt (\max p_j)^{-{1}/{(8\sigma(k))}+\varepsilon}.$$ This gives an improvement of an earlier result.

Autorzy

  • Wenxu GeSchool of Mathematics and Information Sciences
    North China University of
    Water Resources and Electric Power
    Zhengzhou 450046, P.R. China
    e-mail
    e-mail
  • Tianqin WangSchool of Information Engineering
    North China University of
    Water Resources and Electric Power
    Zhengzhou 450046, P.R. China
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek