Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Metric results on summatory arithmetic functions on Beatty sets

Tom 197 / 2021

Marc Technau, Agamemnon Zafeiropoulos Acta Arithmetica 197 (2021), 93-104 MSC: Primary 11B83; 11J83, 11K65. DOI: 10.4064/aa200128-10-6 Opublikowany online: 31 August 2020

Streszczenie

Let $f\colon \mathbb N \rightarrow \mathbb C $ be an arithmetic function and consider the Beatty set $\mathcal{B} (\alpha ) = \{ \lfloor {n\alpha }\rfloor : n\in \mathbb N \}$ associated to a real number $\alpha $, where $\lfloor {\xi }\rfloor$ denotes the integer part of a real number $\xi $. We show that the asymptotic formula \[\biggl| \sum _{\substack { 1\leq m\leq x \\ m\in \mathcal{B} (\alpha ) }} f(m) - \frac {1}{\alpha } \sum _{1\leq m\leq x} f(m) \biggr|^2 \ll _{f,\alpha ,\varepsilon } (\log x) (\log \log x)^{3+\varepsilon } \sum _{1\leq m\leq x} | {f(m)}|^2 \] holds for almost all $\alpha \gt 1$ with respect to the Lebesgue measure. This significantly improves an earlier result due to Abercrombie, Banks, and Shparlinski. The proof uses a recent Fourier-analytic result of Lewko and Radziwiłł based on the classical Carleson–Hunt inequality.

Moreover, using a probabilistic argument, we establish the existence of functions $f\colon \mathbb N \to \{\pm 1\}$ for which the above error term is optimal up to logarithmic factors.

Autorzy

  • Marc TechnauInstitut für Analysis und Zahlentheorie
    TU Graz
    Kopernikusgasse 24/II
    8010 Graz, Austria
    e-mail
  • Agamemnon ZafeiropoulosDepartment of Mathematical Sciences
    Norwegian University of Science and Technology
    NO-7491 Trondheim, Norway
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek