JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

On Landau–Siegel zeros and heights of singular moduli

Tom 201 / 2021

Christian Táfula Acta Arithmetica 201 (2021), 1-28 MSC: 11M20, 11G50, 11N37. DOI: 10.4064/aa191118-18-5 Opublikowany online: 28 October 2021

Streszczenie

Let $\chi _D$ be the Dirichlet character associated to $\mathbb {Q}(\sqrt {D})$ where $D \lt 0$ is a fundamental discriminant. Improving Granville–Stark’s 2000 result, we show that \[ \frac {L’}{L}(1,\chi _D) = \frac {1}{6} \mathop {\rm ht}(j(\tau _D)) - \frac {1}{2}\log |D| + C + o_{D\to -\infty }(1), \] where $\tau _D = \frac 12(-\delta +\sqrt {D})$ for $D \equiv \delta \pmod {4}$ and $j(\cdot )$ is the $j$-invariant function with $C = -1.057770\ldots .$ Assuming the “uniform” $abc$-conjecture for number fields, we deduce that $L(\beta ,\chi _D)\ne 0$ with $\beta \geq 1 - \frac {\sqrt {5}\varphi + o(1)}{\log |D|}$ where $\varphi = (1+\sqrt {5})/2$, which we moreover improve for smooth $D$.

Autorzy

  • Christian TáfulaDépartment de Mathématiques et de Statistique
    Université de Montréal
    CP 6128, succ. Centre-Ville
    Montréal, QC H3C 3J7, Canada
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek