JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

# Wydawnictwa / Czasopisma IMPAN / Acta Arithmetica / Wszystkie zeszyty

## Acta Arithmetica

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

## On a logarithmic sum related to the Selberg sieve

### Tom 202 / 2022

Acta Arithmetica 202 (2022), 123-160 MSC: Primary 11N35, 11N37, 11N56; Secondary 11A05, 11A25, 11A41, 11N64. DOI: 10.4064/aa200712-22-6 Opublikowany online: 17 January 2022

#### Streszczenie

We study the sum $$\Sigma _q(U)=\sum _{\substack {d,e\leq U\\(de,q)=1}}\frac {\mu (d)\mu (e)}{[d,e]} \log \biggl (\frac {U}{d}\bigg )\log \biggl (\frac {U}{e}\bigg ),\quad U \gt 1,$$ so that a continuous, monotonic and explicit version of Selberg’s sieve can be stated.

Thanks to Barban–Vekhov (1968), Motohashi (1974) and Graham (1978), it has been long known, but never explicitly, that $\Sigma _1(U)$ is asymptotic to $\log (U)$. In this article, we discover not only that $\Sigma _q(U)\sim \frac {q}{\varphi (q)}\log (U)$ for all $q\in \mathbb {Z}_{ \gt 0}$, but also we find a closed-form expression for the second order term of $\Sigma _q(U)$, a constant $\mathfrak {s}_q$, which we are able to estimate explicitly when $q=v\in \{1,2\}$: we have $\Sigma _v(U)= \frac {v}{\varphi (v)}\log (U)-\mathfrak {s}_v+O^*\bigl (\frac {K_v}{\log (U)}\big )$, for some explicit constant $K_v \gt 0$, where $\mathfrak {s}_1=0.60731\ldots$ and $\mathfrak {s}_2=1.4728\ldots .$

As an application, we show how our result gives an explicit version of the Brun–Titchmarsh theorem within a range.

#### Autorzy

• Sebastian Zuniga AltermanInstitut de Mathématiques de Jussieu
Université Paris Diderot P7
Bâtiment Sophie Germain, 8 Place Aurélie Nemours 75013 Paris, France
e-mail

## Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

## Przepisz kod z obrazka Odśwież obrazek