JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

On extreme values for the Sudler product of quadratic irrationals

Tom 204 / 2022

Manuel Hauke Acta Arithmetica 204 (2022), 41-82 MSC: Primary 11J70; Secondary 11J68, 11B39, 41A60. DOI: 10.4064/aa211129-23-3 Opublikowany online: 13 June 2022

Streszczenie

For a real number $\alpha $ and a natural number $N$, the Sudler product is defined by $P_N(\alpha ) = \prod _{r=1}^{N} 2 \lvert \sin (\pi r\alpha )\rvert $. Denoting by $F_n$ the $n$th Fibonacci number and by $\phi $ the Golden Ratio, we show that for $F_{n-1} \le N \lt F_n$, we have $P_{F_{n-1}}(\phi )\le P_N(\phi ) \le P_{F_{n}-1}(\phi )$ and $\min _{N \ge 1} P_N(\phi ) = P_1(\phi )$, thereby proving a conjecture of Grepstad, Kaltenböck and Neumüller. Furthermore, we find closed expressions for $\liminf _{N \to \infty } P_N(\phi )$ and $\limsup _{N \to \infty } P_N(\phi )/N$ whose numerical values can be approximated arbitrarily well. We generalize these results to the case of quadratic irrationals $\beta $ with continued fraction expansion $\beta = [0;b,b,\ldots ]$ where $1 \le b \le 5$, completing the calculation of $\liminf _{N \to \infty } P_N(\beta )$, $\limsup _{N \to \infty } P_N(\beta )/N$ for $\beta $ being an arbitrary quadratic irrational with continued fraction expansion of period length 1.

Autorzy

  • Manuel HaukeInstitute of Analysis and Number Theory
    TU Graz
    Steyrergasse 30
    8010 Graz, Austria
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek