JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

# Wydawnictwa / Czasopisma IMPAN / Acta Arithmetica / Wszystkie zeszyty

## Acta Arithmetica

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

## Extending a problem of Pillai to Gaussian lines

### Tom 206 / 2022

Acta Arithmetica 206 (2022), 45-60 MSC: Primary 11R11; Secondary 11B83. DOI: 10.4064/aa220227-11-10 Opublikowany online: 24 November 2022

#### Streszczenie

Let $L$ be a primitive Gaussian line, that is, a line in the complex plane that contains two, and hence infinitely many, coprime Gaussian integers. We prove that there exists an integer $G_L$ such that for every integer $n\geq G_L$ there are infinitely many sequences of $n$ consecutive Gaussian integers on $L$ with the property that none of the Gaussian integers in the sequence is coprime to all of the others. We also investigate the smallest integer $g_L$ such that $L$ contains a sequence of $g_L$ consecutive Gaussian integers with this property. We show that $g_L\neq G_L$ in general. Also, $g_L\geq 7$ for every Gaussian line $L$, and we give necessary and sufficient conditions for $g_L=7$ and describe infinitely many Gaussian lines with $g_L\geq 260{,}000$. We conjecture that both $g_L$ and $G_L$ can be arbitrarily large. Our results extend a well-known problem of Pillai from the rational integers to the Gaussian integers.

#### Autorzy

• Elsa MagnessMathematics Department
Seattle University
Seattle, WA 98122, USA
e-mail
• Brian NugentMathematics Department
Seattle University
Seattle, WA 98122, USA
e-mail
• Leanne RobertsonMathematics Department
Seattle University
Seattle, WA 98122, USA
e-mail

## Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Odśwież obrazek