Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Atomic decompositions for Hardy spaces related to Schrödinger operators

Tom 239 / 2017

Marcin Preisner Studia Mathematica 239 (2017), 101-122 MSC: Primary 42B30, 35J10; Secondary 42B25, 42B35. DOI: 10.4064/sm8338-2-2017 Opublikowany online: 23 June 2017

Streszczenie

Let $\mathbf {L}^{U}= -\boldsymbol \Delta +U$ be a Schrödinger operator on ${\mathbb {R}^d}$, where $U\in L^1_{\rm loc}({\mathbb {R}^d})$ is a non-negative potential and $d\geq 3$. The Hardy space $H^1(\mathbf {L}^{U})$ is defined in terms of the maximal function of the semigroup $\mathbf {K}_{t}^{U} = \exp(-t\mathbf {L}^{U})$, namely $$H^1(\mathbf {L}^{U}) = \left \{f\in {L^1({\mathbb {R}^d})}:\| f \| _{H^1(\mathbf {L}^{U})}:= \left \| \sup_{t \gt 0} | \mathbf {K}_{t}^{U}f | \right\|_{L^1({\mathbb {R}^d})} \lt \infty \right\}.$$ Assume that $U=V+W$, where $V\geq 0$ satisfies the global Kato condition $$\sup_{x\in {\mathbb {R}^d}} \int _{{\mathbb {R}^d}} V(y)|x-y|^{2-d} \,dy \lt \infty .$$ We prove that, under certain assumptions on $W\geq 0$, the space $H^1(\mathbf {L}^{U})$ admits an atomic decomposition of local type. An atom $a$ for $H^1(\mathbf {L}^{U})$ either is of the form $a(x)=|Q|^{-1}\chi _Q(x)$, where $Q$ are special cubes determined by $W$, or satisfies the cancellation condition $\int _{\mathbb {R}^d}a(x)\omega (x)\, dx=0$, where $\omega $ is given by $\omega (x) = \lim_{t\to \infty } \mathbf {K}_{t}^{V}\mathbf {1}(x)$. Furthermore, we show that, in some cases, the above cancellation condition can be replaced by $\int _{\mathbb {R}^d}a(x)\, dx = 0$. However, we construct an example where the atomic spaces with these two cancellation conditions are not equivalent as Banach spaces.

Autorzy

  • Marcin Preisner

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek