Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Representation of integers by cyclotomic binary forms

Tom 184 / 2018

Étienne Fouvry, Claude Levesque, Michel Waldschmidt Acta Arithmetica 184 (2018), 67-86 MSC: Primary 11E76; Secondary 12E10. DOI: 10.4064/aa171012-24-12 Opublikowany online: 15 March 2018

Streszczenie

The homogeneous form $\varPhi_n(X,Y)$ of degree $\varphi(n)$ which is associated with the cyclotomic polynomial $\phi_n(X)$ is dubbed a cyclotomic binary form. A positive integer $m\ge 1$ is said to be representable by a cyclotomic binary form if there exist integers $n,x,y$ with $n\ge 3$ and $\max\{|x|, |y|\}\ge 2$ such that $\varPhi_n(x,y)=m$. We prove that the number $a_m$ of such representations of $m$ by a cyclotomic binary form is finite. More precisely, we have $\varphi(n) \le ( {2}/ {\log 3} )\log m$ and $\max\{|x|,|y|\} \le ({2}/{\sqrt{3}} )\, m^{1/\varphi(n)}.$ We give a description of the asymptotic cardinality of the set of values taken by the forms for $n\geq 3$. This will imply that the set of integers $m$ such that $a_m\neq 0$ has natural density 0. We will deduce that the average value of the nonzero values of $a_m$ grows like $\sqrt{\log \, m}$.

Autorzy

  • Étienne FouvryInstitut de Mathématique d’Orsay
    Université Paris-Sud
    CNRS, Université Paris-Saclay
    F-91405 Orsay, France
    e-mail
  • Claude LevesqueDépartement de mathématiques et de statistique
    Université Laval
    Québec, QC, Canada G1V 0A6
    e-mail
  • Michel WaldschmidtSorbonne Université
    UPMC Univ Paris 06
    UMR 7586 IMJ-PRG
    F-75005 Paris, France
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek