Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Quandle coverings and their Galois correspondence

Tom 225 / 2014

Michael Eisermann Fundamenta Mathematicae 225 (2014), 103-167 MSC: 57M25, 20L05, 18B40, 18G50. DOI: 10.4064/fm225-1-7

Streszczenie

This article establishes the algebraic covering theory of quandles. For every connected quandle $Q$ with base point $q \in Q$, we explicitly construct a universal covering $p \colon (\tilde{Q},\tilde{q}) \to (Q,q)$. This in turn leads us to define the algebraic fundamental group $\pi_1(Q,q) := \mathop{\rm Aut}(p) = \{ g \in \mathop{\rm Adj}(Q)' \mid q^g = q \}$, where $\mathop{\rm Adj}(Q)$ is the adjoint group of $Q$. We then establish the Galois correspondence between connected coverings of $(Q,q)$ and subgroups of $\pi_1(Q,q)$. Quandle coverings are thus formally analogous to coverings of topological spaces, and resemble Kervaire's algebraic covering theory of perfect groups. A detailed investigation also reveals some crucial differences, which we illustrate by numerous examples.

As an application we obtain a simple formula for the second (co)homology group of a quandle $Q$. It has long been known that $H_1(Q) \cong H^1(Q) \cong \mathbb{Z}[\pi_0(Q)]$, and we construct natural isomorphisms $H_2(Q) \cong \pi_1(Q,q)_\mathrm{ab}$ and $H^2(Q,A) \cong \mathop{\rm Ext}(Q,A) \cong \mathop{\rm Hom}(\pi_1(Q,q),A)$, reminiscent of the classical Hurewicz isomorphisms in degree $1$. This means that whenever $\pi_1(Q,q)$ is known, (co)homology calculations in degree $2$ become very easy.

Autorzy

  • Michael EisermannInstitut für Geometrie und Topologie
    Universität Stuttgart
    Germany
    e-mail
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek