Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Generators and integer points on the elliptic curve $y^{2}=x^{3}-nx$

Tom 160 / 2013

Yasutsugu Fujita, Nobuhiro Terai Acta Arithmetica 160 (2013), 333-348 MSC: Primary 11D25, 11G05, 14G05; Secondary 11G50. DOI: 10.4064/aa160-4-3

Streszczenie

Let $E$ be an elliptic curve over the rationals ${\mathbb {Q}}$ given by $y^2=x^3-nx$ with a positive integer $n$. We consider first the case where $n=N^2$ for a square-free integer $N$. Then we show that if the Mordell–Weil group $E({\mathbb {Q}})$ has rank one, there exist at most 17 integer points on $E$. Moreover, we show that for some parameterized $N$ a certain point $P$ can be in a system of generators for $E( {\mathbb {Q}})$, and we determine the integer points in the group generated by the point $P$ and the torsion points. Secondly, we consider the case where $n=s^4+t^4$ for distinct positive integers $s$ and $t$. We then show that if $n$ is fourth-power-free, the points $P_1=(-t^2,s^2t)$ and $P_2=(-s^2,st^2)$ can be in a system of generators for $E( {\mathbb {Q}})$. Furthermore, we prove that if $n$ is square-free, then there exist at most nine integer points in the group $\varGamma $ generated by the points $P_1$, $P_2$ and the torsion point $(0,0)$. In particular, in case $n=s^4+1$ the group $\varGamma $ has exactly seven integer points.

Autorzy

  • Yasutsugu FujitaCollege of Industrial Technology
    Nihon University
    2-11-1 Shin-ei
    Narashino, Chiba 275-8576, Japan
    e-mail
  • Nobuhiro TeraiDivision of Information System Design
    Ashikaga Institute of Technology
    268-1 Omae
    Ashikaga, Tochigi 326-8558, Japan
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek